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System.Numerics.Complex, finalmente risolviamo le equazioni di secondo grado!!!

Vorrei segnalarvi che nella versione 4.0 del framework è stato introdotto un nuovo namespace, chiamato System.Numerics, contenente dei tipi numerici che fino ad ora mancavano all’interno del framework: i numeri complessi e gli interi di dimensione non definita.

In questo post ci occupiamo dei numeri complessi.

Prima di vedere come sono implementati nel framework, vorrei richiamare alcuni concetti matematici.

I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione

x^2=-1\,

non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

Si definisce allora il valore i, chiamato anche unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:

i^2=-1\,

e dunque:

i=\sqrt{-1}\,

I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:

a + ib\,

dove a e b sono numeri reali, mentre i è l'unità immaginaria.

Per maggiori info di carattere matematico http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso

Il framework implementa i numeri complessi tramite la  struttura Complex.

Struttura ComplexLa struttura mette a disposizione 4 proprietà:

  • Imaginary : è un double che contiene la parte immaginaria del numero complesso;
  • Magnitude : è il raggio del numero complesso rappresentato in forma polare;
  • Phase : è l’angolo del numero complesso rappresentato in forma polare;
  • Real : è un double che contiene la parte reale del numero complesso.

Abbiamo, inoltre, a disposizione tutta una serie di operazioni matematiche che accettano, oltre che argomenti di tipo Complex, anche argomenti numerici preesistenti come Double, Integer, etc., etc.

La struttura ci mette, infine, a disposizione tre attributi statici che forniscono il prototipo dell’unità, dell’unità immaginaria e dello zero.

Un esempio pratico di utilizzo della struttura Complex è il calcolo delle soluzioni di un’equazione di secondo grado nella forma:

image

Il progetto allegato al post è formato da una semplice windows WPF, un model che si occupa del calcolo delle soluzioni dell’equazione di secondo grado e un viewmodel che si occupa di collegare il model alla window.

Non analizzeremo il viewmodel concentrandoci sulla classe EquationModel che contiene la logica di calcolo.

 

  1. Imports System.Numerics
  2. Namespace Model
  3.     Public Enum EquationType
  4.         Undefined
  5.         FirstDegree
  6.         SecondDegree
  7.     End Enum
  8.  
  9.     Public Class EquationModel
  10.         Public Property A As Double
  11.         Public Property B As Double
  12.         Public Property C As Double
  13.  
  14.         Public ReadOnly Property Delta As Double
  15.             Get
  16.                 Return (Math.Pow(B, 2) - 4 * A * C)
  17.             End Get
  18.         End Property
  19.  
  20.         Public ReadOnly Property Type As EquationType
  21.             Get
  22.                 If A = 0 Then
  23.                     If B = 0 Then
  24.                         Return EquationType.Undefined
  25.                     Else
  26.                         Return EquationType.FirstDegree
  27.                     End If
  28.                 Else
  29.                     Return EquationType.SecondDegree
  30.                 End If
  31.             End Get
  32.         End Property
  33.  
  34.         Public ReadOnly Property X1 As Complex?
  35.             Get
  36.                 Dim x As Complex?
  37.                 Dim y As Complex?
  38.                 CalculateSolutions(x, y)
  39.                 Return x
  40.             End Get
  41.         End Property
  42.  
  43.         Public ReadOnly Property X2 As Complex?
  44.             Get
  45.                 Dim x As Complex?
  46.                 Dim y As Complex?
  47.                 CalculateSolutions(x, y)
  48.                 Return y
  49.             End Get
  50.         End Property
  51.  
  52.         Private Sub CalculateSolutions(ByRef x1 As Complex?, ByRef x2 As Complex?)
  53.             x1 = Nothing
  54.             x2 = Nothing
  55.             If A = 0 Then
  56.                 If B <> 0 Then
  57.                     x1 = -C / B
  58.                     x2 = x1
  59.                 End If
  60.             Else
  61.                 x1 = (-B + Complex.Sqrt(Delta)) / (2 * A)
  62.                 x2 = (-B - Complex.Sqrt(Delta)) / (2 * A)
  63.             End If
  64.         End Sub
  65.     End Class
  66. End Namespace


La classe espone i tre coefficienti dell’equazione (A, B e C) e alcune proprietà calcolate:
  • Delta : la quantità delta che viene utilizzata nel calcolo delle soluzioni;
  • Type : tipo effettivo dell’equazione (non definita, di primo grado, di secondo grado);
  • X1, X2 : soluzioni dell’equazione. Queste proprietà sono di tipo Complex? poichè non è detto che l’equazione abbia soluzioni (ad esempio A=0, B=0 e C=1 non ha soluzioni).

Il metodo privato CalculateSolutions() è il metodo utilizzato per il calcolo effettivo delle soluzioni. All’interno di questo metodo possiamo osservare l’utilizzo del metodo Sqrt() della struttura Complex per il calcolo della radice quadrata.

Il diagramma delle classi complessivo è il seguente:

Diagramma delle classi

L’applicazione WPF riportata in allegato ha la semplice interfaccia:

EquationSolver

Da notare che la visualizzazione delle soluzioni (di fatto dei Complex?) è eseguita grazie al metodo di estensione:

  1. <Extension()>
  2. Public Function Format(ByVal c As Complex?) As String
  3.     Dim retStrBuild = New StringBuilder
  4.     If c.HasValue Then
  5.         If c.Value.Real = 0 Then
  6.             If c.Value.Imaginary = 0 Then
  7.                 retStrBuild.Append("0")
  8.             Else
  9.                 retStrBuild.AppendFormat("{0:F4} i", c.Value.Imaginary)
  10.             End If
  11.         Else
  12.             retStrBuild.AppendFormat("{0:F4}", c.Value.Real)
  13.             If c.Value.Imaginary > 0 Then
  14.                 retStrBuild.AppendFormat(" + {0:F4} i", c.Value.Imaginary)
  15.             ElseIf c.Value.Imaginary < 0 Then
  16.                 retStrBuild.AppendFormat(" - {0:F4} i", Math.Abs(c.Value.Imaginary))
  17.             End If
  18.         End If
  19.     Else
  20.         retStrBuild.Append("-")
  21.     End If
  22.     Return retStrBuild.ToString()
  23. End Function

Il codice completo della solution è scaricabile dal seguente link:

 

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